二次函数的三种坐标公式如下：

一般式

$$

y = ax^2 + bx + c

$$

其中 $a \neq 0$。这是二次函数最常用的表示形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数。

顶点式

$$

y = a（x - m）^2 + n

$$

其中 $（m, n）$ 是二次函数的顶点坐标。顶点式通过配方法将一般式转化而来，顶点坐标 $（m, n）$ 是抛物线的最高点或最低点。

交点式

$$

y = a（x - m）（x - n）

$$

其中 $（m, 0）$ 和 $（n, 0）$ 是二次函数与 $x$ 轴的交点坐标。交点式适用于已知二次函数与 $x$ 轴交点的情况。

关系与推导

顶点坐标公式：

顶点横坐标 $h = -\frac{b}{2a}$

顶点纵坐标 $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

这些公式可以通过配方法或直接利用韦达定理从一般式推导出来。

对称轴：

对称轴的方程是 $x = -\frac{b}{2a}$，这条直线垂直于 $x$ 轴，并且通过抛物线的顶点。

与 $x$ 轴的交点：

如果二次函数与 $x$ 轴有交点，则交点坐标为 $x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。这些值可以通过解方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 得到。

建议

在解决二次函数问题时，可以根据具体情况选择合适的坐标公式。

一般式适用于需要广泛应用的场合，顶点式便于求顶点坐标和对称轴，交点式适用于已知交点的情况。

推导顶点坐标公式时，可以通过配方法或韦达定理，这将有助于加深理解二次函数的几何性质。