欧拉公式

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

这个公式将指数函数、三角函数和虚数联系在一起，是数学中最美丽和神奇的公式之一。

勾股定理 （毕达哥拉斯定理）：

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

这个定理描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。

高斯积分公式

\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi} \]

这个公式是正态分布概率密度函数的积分，在物理学和工程学等领域有重要应用。

圆周长公式

\[ C = 2\pi r \]

这个公式描述了圆的周长与其半径的关系，是古人通过实验总结出来的。

傅里叶变换

\[ F（\omega） = \int_{-\infty}^{\infty} f（t） e^{-i\omega t} \, dt \]

这个公式将一个函数表示为不同频率的正弦波之和，是数字信号处理的核心方法。

德布罗意关系

\[ \lambda = \frac{h}{p}, \quad p = \frac{h}{\lambda} \]

这个关系式表明任何物质既有粒子性，又有波动性，是量子力学的基础之一。

薛定谔方程

\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \right] \psi \]

这个方程描述了量子系统中粒子的状态，是量子力学的核心。

质能方程

\[ E = mc^2 \]

这个方程揭示了质量与能量之间的关系，是爱因斯坦狭义相对论的核心。

微积分基本定理

这个定理将微分和积分联系起来，是数学中最重要的定理之一，广泛应用于各个领域。

麦克斯韦方程组

\[ \begin{aligned}

\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\

\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, \\

\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0, \\

\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0

\end{aligned} \]

这个方程组揭示了电场和磁场之间的关系，对现代物理学的发展有重要影响。

这些公式不仅在数学领域有着深远的影响，而且在物理学、工程学、计算机科学等多个学科中都有广泛的应用。它们不仅是数学家和物理学家的智慧结晶，更是人类文明的集中体现。